用向量点积推导“函数乘积的 定积分 等于函数内积”遇到的障碍

1-2 看英语课程就请学英语术语体系，找些实分析 /复分析 /线性代数 /概率论或者一些物理教材，尤其是量子力学啥的，看英文教材的 index 部分，找 normlize 出现在哪，然后看看具体是个什么操作，你能理解这个术语是怎么用的，就知道这是咋回事了。
3 ，向量长度和弧长是两码事，不信你自己画个离散版本的，向量（ 1 ，1 ，1 ）的模长和（ sqrt （ 2 ），1 ，0 ）一样，但是看图像的话，第一个是横轴为（ 0 ，1 ），（ 1 ，1 ），（ 2 ，1 ），连起来是个水平的线，弧长为 3 ，第二个是（ 0 ，sqrt （ 2 ）），（ 1 ，1 ），（ 2 ，0 ），连起来就一根折线。
4 ，存在，就这么定义的
5 ，找本 stein 的关于 fourier analysis 的书，具体看看傅里叶变换 /级数的定义和成立的条件。这东西有严格的数学定义的。
6 ，泛函分析。不过在这之前请认真学完实分析和复分析。
P.S. 话说在这看你学数学时间都按年算了，认真搞完这几门课好像也就这些时间，为啥现在还在看基础讲义，卡在基础概念的问题上，而且还在不断尝试往直观图像上套一些复杂的逻辑。现代数学本身就是脱离直观图像的复杂逻辑，本身就是一个抽象的玩意儿，而且具备很多直观图像没有的东西。为啥还要一直尝试把一个抽象复杂的概念硬套回具象简单的图像？要是为了搞 gay 器学习啥的简单用用，就赶紧的学点线代概率啥的有个基本基础开工了~

更正一下 3 ，向量长度和弧长是两码事，不信你自己画个离散版本的，向量（ 1 ，1 ，1 ）的模长和（ sqrt （ 2 ），1 ，0 ）一样，但是看图像的话，第一个是横轴为 0 ，1 ，2 ，的（ 0 ，1 ），（ 1 ，1 ），（ 2 ，1 ），连起来是个水平的线，弧长为 3 ，第二个是（ 0 ，sqrt （ 2 ）），（ 1 ，1 ），（ 2 ，0 ），连起来就一根折线。

@necomancer 谢谢指教：
以下针对一楼的回复
1 、“3 ，向量长度和弧长是两码事，不信你自己…………”
这段没看懂，向量怎么还有弧长的问题。

2 、“存在，就这么定义的”
你这个答案是针对，我帖子中“2 、向量内积有 a.b=|a||b|cosθ” 这部分的回复么？

3 、“本身就是一个抽象的玩意儿，而且具备很多直观图像没有的东西。”
--------如果不说图像。但是应该有一些其他的意义吧，比如连续函数 f ，||f||即便没法像向量的模长那样代表函数曲线的长度。那么他是否有其他的现实意义呢。比如，经济意义，概率统计方面的意义？


4 、“要是为了搞 gay 器学习啥的简单用用，就赶紧的学点线代概率啥的有个基本基础开工了~”
-----------越学数学越不敢用数学。如果简单看看傅里叶级数，你觉得给个周期函数 f(x)就可以用傅里叶级数“拟合”出来。但是学了狄雷克雷定理。你就知道有限间断点的周期函数，傅里叶级数是无法拟合出来的。在间断点处拟合出的是 f(x) 左极限和右极限的算术平均值。 我之所以试图寻找一些数学概念的几何意义，一方面加深理解便于记忆。另外一方面担心对抽象的概念留于字面意思的理解容易对概念产生误解。
所以对于工科生学数学用数学，你有什么建议么？
请教一下，你是学什么专业的？