关于命题 2，我的理解是否正确？

你对于这个例 8 的“对于任意 c”的理解有误。这里的 c 在计算这个集合的时候是个固定值，题目中说的是，如果我们随便取一个 c 出来，然后 c 就固定不变了，那么有以下两个等式。

如果题目想要表达你的疑问的意思，一般会采用如下语言：
{x: sup f_x(x) > c, \forall c}

@Alex222222222222
谢谢你的讲解。请问如果这道题题干翻译成英文，“对任意 c”一般用哪个英文单词？也就是表达某一个 c 的意思。

这个其实重点不在于用什么单词，而在于这个任意 c 这个定语在什么位置。

英语里面一般用 for arbitrary c that satisfy some conditions 或者 for any c that satisfy some conditions 或者 for all c that satisfy some conditions 。

@Alex222222222222
谢谢，我有点没看懂你的例子。
你列出的三个例子含义是不同的吧？
“for arbitrary c…… ”更符合例 8 当中 “所谓任意”c 的含义吧？ 也就是 “某一个 c” ，而非 “所有”c ，我的理解正确么？

@huzhikuizainali 我举三个其实是说他们是同一个意思。arbitrary 你的理解是对的。any 在英语中有任意的意思。对所有符合条件的 c ，其实就是对任意符合条件的 c 。这三个东西是一个意思。

@Alex222222222222
一开始我以为我懂了。看了你最新的回复“这三个东西是一个意思”，我又晕了。

如果例 8 中的任意 c 指的是某一个 c ，而不是 forall 。或者说不是数分当中常用的ε的意思。那么我的问题就消失了。gpt 给出的证明也是合理的。

但如果例 8 当中的 任意 c ， “任意”的含义=for arbitrary= for any=for all 既“这三个东西是一个意思”。那么问题就还是存在。

@huzhikuizainali

这个是数学中类似的说法的普遍模版。假设你有一个依赖于 c 的条件 P(c)。譬如，你说这个 P(c)是，c>2 。那么这个 P(c)其实是一个函数，你给一个 c 的值，他返回给你一个 boolean 逻辑值，这个和计算机的 boolean 逻辑是很像的。

一般的我们会说：

对于“任意”c （符合什么条件），P(c)都为正确。

这里有两个重点，“符合什么条件” 和 P(c)。

这里“任意”可以替换词所有，任意一个其实都是表达同一个意思。

e.g.1 P(c) : c > 2

对于任意的（ c > 2 ）, P(c) 都为正确。

看到 （ c > 2 ）是你的条件，P(c) 是你要判断的。

e.g.2 你的题目，P(c) 即为第二个等式如果相等就说条件成立，如果不等就说这个条件不成立。

对于任意的（ c 属于 real ），P(c) 都为正确。

看到（ c 属于 real ）是你的条件，P(c) 是你要判断的。