Fixed-point Theorem

定义 Definition

不动点定理：在一定条件下，保证某个函数（或映射）存在一个点 \(x\)，使得 \(f(x)=x\)（也就是“映射后仍回到自身”的点，称为不动点）。
常见的不动点定理包括：巴拿赫不动点定理（收缩映射原理）、布劳威尔不动点定理等；不同版本适用于不同的空间与条件（如度量空间、拓扑空间等）。

发音 Pronunciation

/fkst pnt θirm/

例句 Examples

A fixed-point theorem can guarantee that an equation has a solution.
不动点定理可以保证某个方程存在解。

Using the Banach fixed-point theorem, we can prove the iterative method converges to a unique solution in a complete metric space.
利用巴拿赫不动点定理，我们可以证明在完备度量空间中该迭代方法会收敛到唯一解。

词源 Etymology

fixed point字面意思是“固定的点”，在数学里指经过函数作用后仍保持不变的点（\(f(x)=x\)）。theorem来自希腊语 theōrēma，意为“可被证明的命题/结论”。合起来就是“关于不动点存在性的定理”。

相关词 Related Words

• Banach
• Brouwer
• Contraction
• Mapping
• Metric Space
• Topology
• Functional Analysis
• Existence
• Convergence

文学与著作中的用例 Literary & Notable Works

• Topology（James R. Munkres）讲解拓扑基础时常提到布劳威尔不动点定理等相关思想。
• Introductory Functional Analysis with Applications（Erwin Kreyszig）在泛函分析与应用部分常用到巴拿赫不动点定理。
• Nonlinear Functional Analysis and Its Applications（Eberhard Zeidler）系统讨论非线性问题中各类不动点工具。
• Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos（Hirsch, Smale, Devaney）在动力系统与迭代映射语境下常用“不动点”与相关结论。