巴拿赫不动点定理：在完备度量空间中，任何压缩映射（contraction mapping）都存在且仅存在一个不动点 \(x^\*\)（满足 \(T(x^\*)=x^\*\)）；并且从任意初值出发反复迭代 \(x_{n+1}=T(x_n)\)，序列都会收敛到该不动点。
（也常称 Contraction Mapping Theorem / Contraction Mapping Principle。）
/bnk fkst pnt θirm/
The Banach fixed-point theorem guarantees a unique solution.
巴拿赫不动点定理保证解的唯一性。
In a complete metric space, we apply the Banach fixed-point theorem to show that Picard iteration converges to the unique fixed point of the contraction.
在完备度量空间中，我们用巴拿赫不动点定理证明皮卡迭代会收敛到该压缩映射的唯一不动点。
该定理以波兰数学家斯特凡巴拿赫（Stefan Banach）命名；“fixed point”意为“在映射作用下保持不变的点（不动点）”，“theorem”源自希腊语，表示“定理/可证明的命题”。它在泛函分析与非线性分析中非常基础，常用于证明“存在且唯一”以及“迭代收敛”。
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